Модификация метода учета ближайших векторов состояния для оценки задержки на моделях сердечно-сосудистой системы

Введение

В настоящее время актуальной задачей, привлекающей внимание многих исследователей, является разработка и тестирование по временным рядам методов оценки параметров состояния сердечно-сосудистой системы человека [1-9]. Следует отметить, что временной ряд представляет собой собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки.

Так, например, при использовании аналого-цифровых преобразователей и во многих других ситуациях данные об исследуемом объекте (процессе) представляют собой конечную последовательность значений наблюдаемой величины в различные моменты времени. Если в каждый момент времени измеряется значение только одной скалярной величины, то временной ряд называют скалярным.  Если же одновременно в момент измеряются значения k величин, то ряд называют векторным, так как эти величины можно рассматривать как компоненты k-мерного вектора. Элементы временного ряда (числа или векторы) называют также точками. Порядковый номер точки i называют дискретным временем.

Выявление структуры временного ряда необходимо для того, чтобы построить математическую модель того явления, которое является источником анализируемого временного ряда. Наиболее простым способом выявления структуры временного ряда является его визуальный анализ.

Визуальный анализ данных об объекте, если они представлены в графической форме, может оказаться весьма полезным и эффективным при моделировании — подсказать подходящий вид модельных функций, вид и размерность модельных уравнений. Наиболее естественна визуальная оценка изображений временных реализаций процесса — зависимостей регистрируемой измерительным прибором величины от времени.

Также существуют автоколебания — незатухающие колебания в диссипативной (устойчивое состояние, возникающее в неравновесной среде при условии рассеивания энергии, которая поступает извне) динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающееся за счет энергии постоянного, т.е. непериодического, внешнего воздействия. Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Одним из самых ярких примеров автоколебаний служит маятник часов, колебания которого, являются незатухающими благодаря постоянному действию тяжести заводной гири. Кроме простых автоколебаний существуют автоколебания с запаздывающей обратной связью.

Автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью чрезвычайно широко распространены в реальном мире. Например, в пространственно-развитых системах запаздывание определяется тем, что сигналы распространяются с конечной скоростью и им требуется время на преодоление расстояний. Запаздывание реакции на сигнал и обратная связь с запаздыванием присущи многим биологическим  объектам и процессам [10, 11]. При исследовании систем с запаздыванием важно знать значения временных задержек, величина которых во многом определяет динамику и свойства системы. Знание времен запаздывания имеет большое значение для построения модели системы и предсказания поведения системы во времени и при изменении параметров. Поэтому, задача восстановления времени запаздывания по временным рядам наблюдаемых динамических переменных привлекает внимание многих исследователей.

Для ее решения были предложены различные методы, позволяющие восстановить времена запаздывания систем по хаотическим временным рядам их колебаний [12, 13]. Многие из этих методов основаны на проецировании бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности. При этом используются такие критерии качества реконструкции системы с запаздыванием, как минимальная ошибка прогноза построенной модели, минимальная величина информационной энтропии или различные меры сложности спроецированного временного ряда [14-16]. В отдельную группу можно выделить методы определения времени запаздывания, основанные на возмущении системы внешним воздействием и анализе отклика [17-20], которые могут быть применены к системам не только в хаотических, но и периодических режимах.

Целью данного исследования является изучение работы метода учета ближайших векторов состояния на опытных моделях сердечно-сосудистой системы.

Материал и методы

Идея метода, предложенного в [20] и успешно примененного в работах [21, 22], состоит в том, что в исследуемой системе ближайшим соседним векторам, содержащим динамическую переменную в моменты времени n и n-d, будут соответствовать близкие состояния системы в моменты времени n+1, так как эволюция системы определяется ее текущим состоянием и состоянием в задержанный момент времени. Поскольку время запаздывания нам неизвестно, будем перебирать пробные задержки m из некоторого интервала и для k ближайших соседних векторов каждого вектора временного ряда оценивать дисперсию D соответствующих им состояний системы в моменты времени n+1. Истинному времени запаздывания будет соответствовать положение минимума дисперсии D(m). Одна из возможных модификаций данного метода может быть описана следующим образом: Возьмём набор координат исходного ряда, включающий текущую координату ряда в момент времени n и координату в задержанный момент времени n-d. Полученный набор мы упорядочим по возрастанию столбца координат для задержанного момента времени, после чего будем последовательно вычислять расстояния между соседними векторами, полученными из координат в упорядоченном наборе. Минимум средних расстояний для пробных задержек m из некоторого интервала (поскольку время запаздывания d неизвестно) позволит оценить величину исходной задержки системы.

В данной работе тестирование метода учета ближайших векторов состояния было проведено на двух системах:

1. Модель медленных колебаний артериального давления с включенной нелинейной обратной связью;
2. Дифференциальное уравнение первого порядка для барорефлекса, прогнозирующее задержку 0,4 Гц-колебаний в артериальном давлении у крыс (экспериментальные данные, полученные у 10 животных).

Так как организм человека представляет собой нелинейную систему, то использование модели с нелинейной обратной связью является более адекватной исследуемому объекту и, следовательно, будет лучше характеризовать сердечно-сосудистую систему [23]. Следует отметить появление в последнее время гораздо более сложных и качественных моделей процессов регуляции в сердечно-сосудистой системе [24], однако, их изучение потребует модификации исходного метода ввиду наличия большого количества переменных.

Ранее было установлено, что колебания артериального давления имеют частоты в диапазоне 0,1–0,4 Гц, что было в дальнейшем предложено использовать для того, чтобы отобразить резонансный отклик в барорефлекторной петле [25]. Модель нелинейной обратной связи (рисунок 1)  включает в себя сосудистую сеть и центральную нервную систему. Необходимо заметить, что преимущество нелинейной модели над линейной в том, что она очень устойчива при самых разных ситуациях. Например, когда коэффициент усиления в различных точках вдоль контура обратной связи очень мал, а также в ситуациях, кода невозможно использование линейной обратной связи.

Рисунок 1. Блок-схема компонентов нелинейной системы с обратной связью.

Рисунок 2. Зависимость величины D от пробного времени запаздывания m в случае поиска 10 ближайших векторов состояния при различных значениях уровня шума: а) 1,5; б) 2,0.

Результаты и обсуждение

В результате обработки данных системы медленных колебаний артериального давления, с помощью нелинейной модели обратной связи, получили следующие графики (рисунок 2). Из них видно, что чем больше значение параметра D, тем более отчётливо просматривается минимум, с помощью которого оценивается искомая задержка.

После рассмотрения системы медленных колебаний артериального давления, описываемой с помощью нелинейной модели обратной связи, можно сделать вывод, что полученный результат позволяет точно восстановить исходное время задержки с погрешностью, равной одному шагу дискретного времени. Также выявлено, что выраженность искомого минимума зависит от уровня шума: чем больше шум, тем лучше идентифицируется искомый минимум.

Далее была рассмотрена модель, описываемая с помощью дифференциального уравнения первого порядка для барорефлекса, прогнозирующего задержку 0,4 Гц-колебаний в артериальном давлении у крыс, предложенная в работе [26]. С помощью этой модели выявлялось, могут ли колебания обратной связи объяснять возникновение  данных указанных ритмов. Рассмотрим результаты, полученные для данной модели при обработке экспериментальных записей. Для наиболее выраженного определения искомого дискретного времени запаздывания в динамику системы был добавлен гауссов шум с нулевым средним. В ходе численного эксперимента также рассматривали изменение характера зависимостей для разного количества ближайших векторов состояния: 5 и 10. Результаты обработки данных представлены на рисунке 3.

При тестировании метода учета ближайших векторов состояния на двух разных системах получили положительные результаты в обоих случаях. Можно сделать вывод, что метод учета ближайших векторов состояния успешно работает на тестовых системах.

Полученные результаты могут быть полезны при разработке новых диагностических методов и устройств для оценки состояния сердечно-сосудистой системы.

Рисунок 3. Зависимость величины D от пробного времени запаздывания m в случае поиска а) 5 ближайших векторов состояния; б) 10 ближайших векторов состояния. Система находилась под внешним воздействием осциллятора Ван дер Поля.

Заключение

В результате применения метода учета ближайших векторов состояния на двух моделях сердечно-сосудистой системы получили положительные результаты в обоих случаях.

Конфликт интересов: не заявляется.