Reconstruction of model of vegetative regulation of vessel tone

Введение

Автогенераторы с запаздывающими обратными связями широко распространены в природе и технике [1-3]. Особую роль такие системы играют при моделировании объектов биологической природы [3-9]. Построение численных моделей живых систем позволяет прогнозировать поведение системы во времени и при изменении управляющих параметров [10]. Также наличие информации о структуре модельного уравнения позволяет решить задачу реконструкции параметров исследуемой системы по ее временным реализациям, что зачастую помогает избежать прямых инвазивных измерений. Задача реконструкции параметров автогенераторов с запаздыванием имеет важное фундаментальное и прикладное значение для биомедицины [11, 12]. Однако при работе с реальными данными, выполнение задачи реконструкции осложняется конечным временем наблюдения, а также динамическими и измерительными шумами различной природы. Также многие практически важные системы, в частности контур барорефлекторной регуляции [13, 14], демонстрируют периодическую динамику, которая несет меньше информации о системе и дополнительно затрудняет реконструкцию.

Все вышеперечисленные проблемы приводят к значительному сужению границ применимости известных методов реконструкции, а требуют разработки новых специализированных подходов, ориентированных на системы с конкретной структурой. Поэтому настоящая работа посвящена изучению границ применимости известных ранее методов, а также предложенного нами оригинального метода реконструкции параметров систем с запаздыванием. Данное исследование проводилась нами на численной модели контура вегетативной регуляции в присутствии измерительных и динамических шумов, характерных для натурного эксперимента. Также длины модельных сигналов не превышали одного часа.

Материал и методы

Методы

В работе рассматривались методы, ориентированные на восстановление параметров генератора с запаздывающей обратной связью (ГЗОС), описываемых модельным уравнением:

ε₀ x(t) = –x(t) + f(x(t– τ₀)),                                 (1)

где τ₀ — время запаздывания, ε₀ — инерционность, f – нелинейная функция. Важнейшим этапом реконструкции систем с запаздыванием является восстановление времени задержки τ₀. Точная оценка времени запаздывания сильно облегчает реконструкцию остальных параметров.

В рамках исследования сопоставлялись следующие пять методов: оригинальная методика, основанная на использовании дополнительной системы с синхронным откликом [12, 15], оценка автокорреляционной функции (АКФ), построение статистики распределения экстремумов [16-18], подсчет информационной энтропии [19], расчет филл-фактора траектории системы в трехмерном пространстве [20], оценка меры гладкости проекции траектории системы в двумерное пространство [21].

Исследуемая система

В качестве объекта исследования нами была выбрана система барорефлекторной регуляции среднего артериального давления, предложенная в работе [3]. Модельное уравнение этой системы, построенное по результатам физиологических экспериментов, имеет вид (1) с нелинейной функцией f вида:

F(x) = k [(r*/(1 + αe ^–βx)) – [(r*/(1 + αe^βx))],                (2)

Предложенные в работе [3] параметры α=1, β=2, r*=1, k=-1,65 были выбраны авторами в ходе аппроксимации зависимости, полученной в ходе экспериментальных исследований in vitro. При таком наборе параметров нелинейная функция имеет сигмоидальный вид. При τ=3,6 секунд и ε=2,0 секунд (значения, типичные для здоровых людей [3]) система демонстрирует периодические колебания с периодом около 10 секунд, что соответствует физиологическим наблюдениям. Для получения временной реализации уравнение (3) численно интегрировалось методом Эйлера с шагом интегрирования 0,1 секунды.

В ходе численного моделирования реализации системы искажались измерительными и динамическими шумами различной интенсивности. Причем для каждой интенсивности шума генерировались по 100 реализаций. Интенсивность добавленного шума рассчитывалась как отношение среднеквадратичных отклонений шума и автономной системы, выраженное в процентах. Шум y(t) вводился в динамику системы следующим образом:

ε₀ x(t) = –x(t) + f(x(t – τ₀)) + y(t),                            (3)

Шум y(t) был выбран в виде последовательности биполярных прямоугольных импульсов длительностью в 2 секунды, и с расстоянием между передними фронтами импульсов меняющимся случайным образом в интервале от 3 до 5 секунд. Такие параметры воздействующего сигнала были выбраны в связи с тем, что они могут быть качественно воспроизведены в физиологических тестах с механической или электрической стимуляцией групп каротидных барорецепторов с частотой от 3 до 5 секунд. 

Результаты и обсуждение

Работоспособность методов, сопоставлялась в ходе применения для реконструкции параметров автономной системы барорегуляции, системы, возбуждаемой случайной последовательностью импульсов, а также  в присутствии измерительных шумов. Тесты показали, что методы, основанные на оценке АКФ, расчете информационной энтропии и построении статистики распределения экстремумов не позволяют оценить время запаздывания исследуемой периодической системы даже в отсутствие измерительных шумов. Однако метод построения статистики распределения экстремумов начинает демонстрировать локальный минимум на верном времени запаздывания при уровне динамических шумов от 75%.

Метод, основанный на использовании вспомогательной системы с синхронным откликом, показал лучшую среди всех сопоставляемых подходов устойчивость к измерительным шумам, оставаясь работоспособным (время запаздывания точно определяется с вероятностью 0,99) при уровнях измерительных шумов до 4% в присутствии динамического шума интенсивностью 10%.

Полученные результаты могут иметь важное значение для развития диагностических подходов, основанных на исследовании синхронизации контуров вегетативной регуляции кровообращения [22].

Заключение

Показано, что методы, основанные на оценке автокорреляционной функции, информационной энтропии и статистики распределения экстремумов оказались неприменимы для оценки времени запаздывания периодического ГЗОС. Предложенный нами метод, использующий вспомогательную систему с синхронным откликом, демонстрирует наилучшую устойчивость к измерительным шумам и позволяет восстанавливать в параметризованном виде нелинейную функцию, время запаздывания τ и параметр инерционности ε.

Конфликт интересов

Работа выполнена при поддержке гранта У.М.Н.И.К. (договор № 9002ГУ/2015, код 0018682), гранта РФФИ 15-02-03061 и гранта Президента РФ МД-3318.2017.7.